PEMIKIRAN MATEMATIKA

Ada pertentangan antara matematikawan mengenai matematika sebagai ilmu. Pertentangan ini dibagi menjadi 2 kelompok yang terdiri dari paham dari filsuf yunani yaitu plato dan muridnya aristoteles. Kelompok pertama yaitu platonism yang menyatakan bahwa siapa saja yang mempelajari matematika hanya mempelajari kebenarannya saja, dan penemuan berikutnya adalah kebenaran yang diturunkan dari kebenaran sebelumnya. Kelompok kedua yaitu empirisme yang menyatakan bahwa matematika adalah suatu ilmu yang didapatkan oleh pengalaman.

Selain itu matematika mempunyai tokoh yang terkenal dengan pemikirannya didunia. Hilbert merupakan seorang bapak matematika yang menganut paham fondamentalis. Dilihat dari fundamentalisme, matematika bisa bersifat tunggal, dual, multi, plural. Karena sifat yang berbeda-beda inilah matematika bisa bersifat relatif tergantung bagaimana kita memandang matematika itu sendiri.  Matematika memiliki sifat yang sama dengan dunia ini, yaitu bebas dari ruang dan waktu dam terikat oleh ruang dan waktu. Pada sejarahnya, hilbert adalah salah satu tokoh yang menganggap matematika memiliki sifat yang terbebas dari ruang dan waktu. Paham tersebut disebut paham foundalism dan para pengikutnya bisa disebut sebagai fondamentalis. Sebaliknya, Brouwer merupakan salah satu tokoh yang mengganggap bahwa matematika memiliki sifat yang terikat oleh ruang dan waktu.

Dapat kita simpulkan bahwa matematika yang kita anut saat ini yaitu matematika hilbert yang terbebas dari ruang dan waktu. Dalam filsafat harus memperkuat iman dan menyadari untuk dapat menempatkan ruang dan waktu. Contoh sederhana adalah 4+3. Dalam pemikiran kita mungkin itu adalah soal matematika yang mudah. Jika mengikuti sifat yang bebas dari ruang dan waktu, kita bisa langsung menjawab bahwa 4+3 = 7. Tetapi bagaimana jika mengikuti sifat yang terikat oleh ruang dan waktu? Bagaimana jika 4 buku + 3 pensil ? apakah hasilnya sama dengan 7 buku/7 pensil? Tentu saja tidak. Untuk itu dalam memecahkan masalah kita perlu berpikir seluas-luasnya dan sedalam-dalamnya agar kita bisa memahami inti dari permasalahan yang kita hadapi.

Selanjutnya pembelajaran matematika pada pendidikan formal melalui beberapa tahap dengan tingkat kesulitan dan pemikiran yang berbeda. Pada tahap sekolah dasar, pelajaran matematika yang diberikan disebut matematika konkrit. Pada tahap sekolah menengah pertama pelajaran matematika yang diberikan disebut model formal. Pada tahap sekolah menengah atas, pelajaran yang diberikan disebut model formal. Dan pada tahap tingkat universitas, pelajaran matematika yang diberikan disebut matematika formal.

review of history of greek mathematics

Matematika yunani dikembangkan sejak abad ke 6 SM sampai abad ke 5 SM disekitar pesisir timur laut tengah. Matematikawan Yunani tinggal di kota – kota yang tersebar disekitar laut tengah bagian timur, mulai dari italia hingga ke afrika utara, namun dibersatukan oleh budaya dan bahasa Yunani. Kata matematika sendiri di peroleh dari kata yunani kuno yaitu “mathema” yang artinya pelajaran tentang instruksi. Matematika yunani juga dipengaruhi oleh matematika mesir dan babilonia.

Karakteristik pada matematika yunani sendiri bersifat geometri dan mengungkap ide untuk pembuktian secara formal. Matematika yunani juga memberikan kontribusi penting terhadap ide – ide pada teori bilangan, matematika analisis, matematika terapan dan pendekatan kalkulus integral. Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya.

            Timeline sejarah matematika yunani kuno dapat dibagi menjadi 2 periode yaitu periode klasik dan helenistik. Pada periode klasik biasanya menempatkan permulaan pada Thales dari miletus beserta teoremanya yang terkenal. Selanjutnya adalah phytagoras dari samos yang terkenal dengan dalil phytagorasnya. Sedangkan pada periode helenistik yang bermula pada abad 5 SM, matematika yunani melebur dengan matematika mesir dan babilonia untuk membangkitkan matematika helenistik. Sebagian besar naskah matematika ditulis dalam bahasa yunani. Yang menonjol dari peradaban ini adalah metode kelelahan dari archimedes dalam menemukan pendekatan phi. Matematika dan astronomi mencapai tahapan lanjut pada peradaban helenistik dengan diciptakannya komputer analog sederhana.

Matematikawan pada zaman yunani kuno yaitu :

·         Thales

Thales dari Miletus hidup dari 634 SM sampai 548 SM adalah seorang filsuf pertama yang memikirkan asal mulanya alam semesta. Thales menganggap air adalah prinsip dari segala sesuatu. Pada masa mudanya, ia melakukan perjalanan secara ekstensif. Dia mungkin mengunjungi Mesir dan Babel, dua peradaban kuno yang masih ada. Kemudian, ia mendirikan Sekolah Ionia, yang pertama di Yunani.

Teorema thales mengenai geometri adalah sebagai berikut :

1.      Sebuah lingkaran terbagi dua sama besar oleh diameternya.

2.      Sudut bagian dasar dari sebuah segitiga samakaki adalah sama besar.

3.      Jika ada dua garis lurus bersilangan, maka besar kedua sudut yang saling berlawanan akan sama.

4.      Sudut yang terdapat di dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

5.      Sebuah segitiga terbentuk bila bagian dasarnya serta sudut-sudut yang bersinggungan dengan bagian dasar tersebut telah ditentukan.

·         Phytagoras (540 SM)

Phytagoras lahir di Samos,Yunani sekitar tahun 580 SM. Phytagoras merupakan seorang matematikawan dan filsuf yunani yang terkenal dengan sebutan “bapak bilangan”.  Ia menganggap bahwa angka adalah dewa. Seperti thales, ia juga melakukan perjalanan ke babilonia, mesir dan mengenal para ahli matematika. Phytagoras juga mendirikan sekolah sendiri di Magna Graecia (Italia) yang memilki sekitar 300 anggota.

Penemuan – penemuan phytagoras adalah sebagai berikut :

1.      Kuadrat hipotenusa suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat kaki – kakinya (sisi-sisi siku-sikunya).

2.      Orang pertama yang melakukan pembuktian secara matematis/formal.

·         Democritus(460 SM)

Democritus (460 SM – 370 SM) adalah seorang filsuf yunani kuno yang lahir di Abdera, Thrace, Yunani. Dia adalah seorang filsuf pra-sokrates dan merupakan murid dari Leucippus. Democritus juga seorang pelopor matematika, geometri pada khususnya. Karya – karya tulisnya yaitu on numbers, on geometrics, on tangencies, on mapping, dan on irrational. Kondisi tubuh democritus tidak dapat bertahan pada pertengahan usianya. Democritus adalah orang yang pertama mengamati sebuah kerucut atau piramida memiliki sepertiga jumlah dari silinder atau prisma yang masing – masing dengan dasar dan tinggi yang sama.

·         Zeno (450 SM)

Zeno dikenal karena namanya tercantum pada halaman pertama buku parmenides karangan plato. Seno diperjirakan lahir pada tahun 490 SM di elea, Yunani. Berikut paradoks zeno :

1.      Dikhotomi

Paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.

2.      Perlombaan lari Achilles dan kura-kura

Achilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu.

3.      Anak panah

Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.

4.      Stadion

Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion.

5.      Paradoks tentang tempat

keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.

6.      Bulir gandum

Apabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar.

·         Eudoxus (408 SM)

Eudoxus lahir di Cnidus sekitar tahun 408 SM. Ia menjelajah ke beberapa tempat seperti itali, sisilia, mesir untuk mencari pengalaman yang lebih banyak mengenai matematika. Eudoxus adalah teman sekaligus murid plato.

Sumbangsih
Eudoxus mengembangkan teori proporsi. Kelak, teori proporsi dari Eudoxus masuk pada bab V, buku Elements dari Euclid. Pada masa ini Eudoxus sudah membuat difinisi tentang prakiraan panjang suatu bilangan irrasional dengan methode perkalian silang (cross multiplying), dimana cara ini masih dipakai sampai sekarang.

·         Aristoteles(340 SM)

Aristoteles lahir di stagira, kota di wilayah chalcidie, thracia, yunani pada tahun 384 SM. Aristiteles merupakan murid dari plato pada usia 17 tahun. Bahkan kemudian ia menjadi guru di academy of plato selama 20 tahun. Filsafat Aristoteles berkembang dalam tiga tahapan yang pertama ketika dia masih belajar di Akademi Plato ketika gagasannya masih dekat dengan gurunya tersebut, kemudian ketika dia mengungsi, dan terakhir pada waktu ia memimpin Lyceum mencakup enam karya tulisnya yang membahas masalah logika, yang dianggap sebagai karya-karyanya yang paling penting, selain kontribusinya di bidang Metafisika, Fisika, Etika, Politik, Ilmu Kedokteran, Ilmu Alam dan karya seni.

Beberapa penemuan aristoteles  adalah pada bidang logika khususnya. Aristoteles adalah orang pertama yang mengobservasi, meneliti dan mencatat hukum-hukum dari logika formal, khususnya bentuk penalaran yang disebut silogisme yang terdiri dari beberapa premis dan satu konklusi. Logika yang dikembangkan oleh aristoteles disebut juga logika klasik atau logika aristoteles.

Julukan julukan yang diberikan pada aristoteles antara lain :

1.      Ahli filsafat terbesar di dunia sepanjang masa

2.      Bapak peradaban barat

3.      Bapak ilmu pengetahuan atau gurunya para ilmuwan.

·         Euclid(300 SM)

Euclid dari alexandria adalah seorang ahli matematika yunani yang sering disebut sebagai “bapak geometri”. Ia terkenal karena elements, yaitu buku yang terdiri dari 13 buku yang mencakup tentang geometri dasar. Euclid belajar pada academy of Plato dan kemudian menjadi pengajar matematika disana. Selanjutnya ia mengajar matematika di university of ptolemy dan tinggal disana sampai akhir hayatnya. Dia juga merupakan salah satu mentor archimedes.

Karya besar euclid yaitu “the Elements” yang terdiri dari 13 buku. Garis besar isi masing-masing buku adalah :

Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Teori-teori tentang lingkaran
Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung
Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak
Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri
Buku VII : Dasar-dasar teori angka
Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka
Buku IX : Teori angka
Buku X : Klasifikasi
Buku XI : Geometri tiga dimensi
Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk
Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)

Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).

·         Archimedes(287 SM)

Archimedes lahir di kota pelabuhan syracus, sisilia. Archimedes hidup selama 75 tahun. Selain pada bidang fisika, archimedes juga memberikan kontribusi untuk bidang matematika. Archimedes menggunakan infinitesimals, cara yang mirip dengan kalkulus integral modern. Ia membuktikan dengan cara kontradiksi ( reductio ad absurdum). Tehnik yang digunakan yaitu metode kelelahan untuk mencari pendekatan nilai phi. Perhitungan phi archimedes terletak antara 3,1429 dan 3,1409. Dia juga membuktikan bahwa daerah lingkaran adalah sama dengan phi dikalikan dengan kuadrat dan jari-jari lingkaran.

Dalam The Quadrature dari Parabola , Archimedes membuktikan bahwa daerah tertutup oleh parabola dan garis lurus adalah ^4/3 kali luas dari tertulis sesuai segitiga seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ia menyatakan solusi untuk masalah sebagai tak terbatas seri geometris dengan rasio umum

·         Eratosthenes(276 SM)

Erastothenes dilahirkan di Cyrene (Libya). Erastothenes belajar di Alexandria dan juga telah belajar beberapa tahun di Athena. Dia merupakan teman baik dari archimedes. Erastothenes mengusulkan algoritma sederhana untuk mencari bilangan prima yang dikenal sebagai saringan erastothenes. Dalam matematika saringan erastothenes adalah algoritma kuno sederhana untuk menemukan semua bilangan prima hingga batas tertentu.

·         Appolonius(262 SM)

Apollonius yang menjadi matematikawan lahir di Perga, Pamphylia yang sekarang dikenal dengan sebutan Murtina atau Murtana, terletak di Antalya, Turki. Pada saat muda appolonius pergi ke Alexandria dan ia belajar dibawah bimbingan para pengikut euclid. Setelah itu ia pergi ke pergamun. Di Pergemum, Apollonius bertemu dengan Eudemus yang menulis buku Sejarah Geometri (Hystory of Geometry) dan Attalus, yang diperkirakan adalah Raja Attalus I dari Pergamum.

Karya besar appolonius yaitu conics, buku yang membahas segala sesuatu tentang hal mendasar tentang kurva –kurva seperti hiperbola dengan asimptut sebagai absisinya. Buku kedua memuat bahasan tentang tangen dan diameter. Buku ketiga berisi teorema untuk menentukan operasi dalam penentuan limit. Buku keempat berisi tentang “berapa banyak cara bagian kerucut dapat saling berpotongan”. Buku kelima berisi maksimum dan minimum garis lurus yang bersinggungan dengan kerucut. Buku keenam berisi proposisi-proposisi tentang bagian dari kerucut apakah sama atau beda, mirip atau berlainan. Buku ketujuh berisi proposisi baru tentang diameter dari bagian kerucut. Sumbangsih yang diberikan yaitu konsep parabola, hiperbola, ellips yang banyak memberikan sumbangan bagi astronomi modern.

·         Diophantus (200 M)

Diphantus atau disebut sebagai “bapak aljabar” tinggal di alexandria, mesir. Diophanus menulis Arithmetica, yang mana isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat beberapa persamaan. Persamaan-persamaan tersebut disebut persamaan Diophantin, digunakan pada matematika sampai sekarang. Susunan dalam Arithmetica tidak secara sistimatik operasi-operasi aljabar, fungsi-fungsi aljabar atau solusi terhadap persamaan-persamaan aljabar. Di dalamnya terdapat 150 problem, semua diberikan lewat contoh-contoh numerik yang spesifik, meskipun barangkali metode secara umum juga diberikan.

sumber : wikipedia, mate-mati-kaku.com

BBC the Story of Math : The Genius of East

Nama    :  Janitri Murjiyanti

NIM       : 10305144025  

Sejak zaman dahulu, matematika menjadi poros dalam kehidupan manusia. Dalam perjalanan sejarahnya oleh mesir,mesopotamia, yunani yang menemukan perhitungan jumlah. Ketika bangsa yunani kemajuan matematika berhenti, di timur akan mencapai kemajuan yang dinamis. Perkembangan matematika di timur membawa ke arah modern.

                Tembok besar Cina merupakan hasil karya Cina kuno yang di buat selama 2000 tahun. Untuk membangun tembok besar cina, masyarakat cina kuno harus membuat perhitungan mengenai jarak, sudut elevasi dan jumlah material. Cina kuno juga menemukan sistem bilangan sederhana yang dijadikan dasar perhitungan sampai saat ini.  Perhitungan pada zaman cina kuno menggunakan batang lidi yang disusun 1-9. Mereka menempatkan batang tersebut pada kolom yang mewakili puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya.  Mereka melakukan perhitungan tersebut lebih dari 1000 tahun sebelum di adopsi bangsa barat. Namun menjadi permasalahan ketika mereka tidak memiliki konsep nol. Lalu mereka menggunakan ruang kosong sebagai simbol untuk angka nol. Mereka berfikir bahwa tanpa angka nol, angka bisa ditulis dalam jumlah terbatas. Menurut Legenda kekaisaran Cina memiliki salah satu dewa yang menciptakan matematika pada 2800BC, dan mempercayai kekuatan mistik pada angka. Misalnya menghindari jumlah 4, jumlah 8 membawa keberuntungan, dan lainnya.

                Tiongkok kuno merupakan awal pengembangan permainan persegi ajaib yang kita sebut sebagai sudoku. Legenda mengatakan bahwa ribuan tahun yang lalu kaisar yu di kunjungi oleh penyu suci yang keluar dari sungai kuning,  di punggungnya terdapat angka yang disusun dalam persegi persegi.  Pada saat itu dianggap memiliki kekuatan agama yang besar karena semua angka dalam setiap baris vertikal, horizontal maupun diagonal jika dijumlahkan memiliki nilai yang sama besar. Pada saat ini sudoku menjadi permainan yang menyenangkan.  Matematika juga memiliki peranan yang penting dalam pengadilan kekaisaran Cina. Mereka mengambil keputusan dengan perhitungan astronomi.  Segala sesuatu hidupnya di tentukan oleh kalender.  Pada saat itu pun di temukan metode deret ukur. Matematika cina kuno berkembang pesat, dari mulai menghitung perpajakan, sistem standar berat, ukuran dan uang.  Kekaisaran membutuhkan pegawai negerinya yangterampil dalam matematika. Kaisar membekali dengan buku matematika yang ditulis sekitar 200BC yang terdiri dari 9 bab dan 246 masalah seperti  perdagangan, pembayaran upah dan pajak. Timbul masalah lagi ketika mereka bingung menyelesaikan suatu persamaan dengan jumlah yang tidak diketahui besarnya. Dari perdagangan yang mereka lakukan orang Cina pun dapat menyelesaikan permasalahan tersebut.

                Carl Friedrich Gauss menemukan kembali metode ini pada tahun 1809 ketika menganalisis batu yang disebut pallas di sabuk asteroid.  Metode tersebut tetap dilanjutkan oleh Cina hingga lebih rumit dan melibatkan jumlah yang besar. Metode yang dikenal sebagai teorema sisa cina. Pada abad 6 teorema sisa cina digunakan untuk menghitung pergerakan planet. Lalu dikenal Qin Jiushao yang kemudian dikenal karena menggelapkan uang pemerintahan kekaisaran cina. Atau pada saat ini disebut dengan korupsi. Qin mulai mencoba menyelesaikan permasalahan yang ada disekitarnya. Qin tertarik dengan persamaan kubik dan ia berusaha untuk menyelesaikan persamaan kubik. Dengan menggunakan makam ketua Mao sebagai objeknya dan pengetahuannya mengenai volume dan dimensi. Ketika isaac Newton menemukan pendekatan metode tersebut. Kelebihan dari tehnik ini dapat digunakan pada persamaan yang lebih rumit.  Namun Qin tidak bisa menyimpulkan dengan suatu formula atau rumus.

                Penemuan matematika di india adalah dalam dunia angka. Seperti Cina, India memiliki menemukan manfaat matematika dari sistem tempat dan desimal dan telah menggunakannya sejak pertengahan abad ke-3. Sistem angka di india digunakan sampai saat ini. Lalu ditemukannya angka baru yaitu nol yang terukir pada dinding candi kecil di benteng dari Gwalior di India tengah. Pada abad ke 7 matematikawan india yaitu Brahmagupta menemukan beberapa sifat penting dari angka nol.  Tetapi brahmagupta mendapatkan masalah ketika ia mencoba membagi suatu bilangan dengan angka nol. Dan dijawab oleh matematikawan india pada abad ke 12 yaitu bhaskara II, bahwa hasil dari suatu bilangan yang dibagi dengan nol adalah tak hingga. India pun menemukan angka negatif yang menyimbolkan hutang dalam perdagangannya.  Melalui pemahaman angka negatif brahmagupta mengemukakan bahwa solusi dari persamaan kuadrat selalu memiliki 2 solusi. Salah satunya bisa menjadi solusi negatif.

                Matematikawan india bertanggung jawab dalam dasar penemuan teori trigonometri. Trigonometri menerjemahkan geometri kedalam angka yang lebih akurat. Sebelumnya pertama kali di temukan oleh yunani kuno, tetapi di india trigonometri lebih berkembang lagi. Sampai saat ini penerapan trigonometri dapat di lakukan berbagai bidang seperti arsitektur. Di india penerapan banyak dilakukan dalam bidang astronomi. Dalam perkembangannya ditemukan salah satu nomor penting dalam matematika yaitu Pi oleh Madhava. Selama berabad – abad matematikawan mencari nilai yang tepat untuk Pi. Pada abad 6 aryabhata dari india memberikan perkiraan yang akurat untuk Pi yaitu 3,1416. Dengan melakukan percobaan pengukuran keliling bumi, dan yang ia dapatkan nilainya berbeda 70 mil dari ukuran yang sebenarnya. Lalu pada abad ke 15 madhava kembali melakukan penelitian untuk mendapatkan nilai Pi yang lebih akurat.

                Di Timur tengah pusat pembelajaran dan perpustakaan didirikan di baghdad. Subjek yang dipelajari meliputi astronomi, kedokteran, kimia, ilmu hewan, dan matematika. Para ulama muslim mengumpulkan dan menerjemahkan teks kuno untuk generasi yang mendatang. Namun mereka tidak puas dan menginginkan untuk membuat penemuan sendiri. Dalam Al-Quran di tegaskan tentang pentingnya pengetahuan. Para seniman muslim menemukan perbedaan simetri yang menggambarkan geometri dua dimensi. Al-Kwarizmi adalah matematikawan persia yang luar biasa dan bertangung jawab. Al_kwarizmi menciptakan bahasa matematika baru yang disebut Aljabar. Diberi nama setelah judul bukunya Al-Jabr W’al-Muqabala . al-Kwarizmi menciptakan terobosan besar ketika menerapkan konsep aljabar pada persamaan kuadrat. Matematikawan selanjutnya yaitu Holy Grail yang menemukan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kubik. Pada abad ke 11 matematikawan asal persia bernama Omar Khayyam mengambil masalah mengenai kubik/kuadrat tiga.  Khayyam adalah seorang penyair yang hebat. Puisinya dengan rima yang berstruktur dan berirama, beresonansi kuat untuk membangun bukti matematika yang logis. Pekerjaan utama khayyam pada matematika telah dikhususkan untuk menemukan metode umum dalammemecahkan masalah persamaan kubik. Namun ia tidak bisa memisahkan aljabar dari geometri.

                Pada abad 13 di Italia dikenal matematikawan bernama fibonacci. Sejak kecil ia berkeliling afrika utara bersama ayahnya dan ia belajar tentang perkembangan bahasa matematika di arab terutama manfaat angka hidu-arab. Ketika ia pulang ke Italia,ia menulis buku yang tentang perhitungan yang memperkenalkan sistem bilangan baru yang lebih mudah dan sederhana. Yang terkenal sampai saat ini adalah deret fibonacci, deret tersebut muncul ketika ia mencoba memecahkan teka teki tentang perkembangbiakan kelinci.

                Penemuan besar matematika berikutnya tidk terjadi sampai awal abad ke 16. Universitas Bologna adalah wadah pemikiran eropa pada awalabad ke 16. Matematikawan yang terkenal pada saat itu adalah Tartaglia. Dia menemukan formula untuk menyelesaikan satu jenis persamaan kubik. Tetapi ia bukan satu-satunya orang yang memecahkan permasalahan kubik pada saat itu. lalu diadakanlah kompetisi  antara Tartaglia dan Fior, matematikawan asal italia. Matematikawan asal Milan yaitu Cardano putus asa untuk menemukan solusinya. Ia membujuk Tartaglia untuk mengungkapkan rahasianya dengan syarat cardano tidak boleh mempublikasikannya. Tapi Cardano membahasnya dengan siswanya yaitu Ferrari. Lalu ferrari berhasil menggunakan formula itu untuk menyelesaikan persamaan quatic/pangkat 4.  Penghargaan datang kepada Cardano dan ferrari, bukan Tartaglia yang dikenal. Walaupun tartaglia tidak memenangkan kemuliaannya, tetapi ia orang pertama yang membuat terobosan pada Eropa modern.